Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.

(1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)过点B作斜率为-的直线L交曲线C于M、N两点，且++=，试求△MNH的面积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ) + y²=1 ；(Ⅱ) S=

【解析】本试题主要考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆方程的位置关系的综合运用。

（1）利用椭圆的性质得到关于a,b,c的关系式，然后求解得到曲线的方程的求解。

（2）因直线L过点B，且斜率为k=-，故有L∶y=-（x-1）然后与椭圆的方程联立，结合韦达定理和向量的关系式得到坐标关系式，从而结合点到直线的距离的公式，得到三角形面积的求解。

（Ⅰ)设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为（x,y）.   

依据题意，有=(x+1,y), =(x-1,y).              ……2分

∵·=1，∴x²-1+2 y²=1.∴动点P所在曲线C的方程是+ y²=1      …4分

(Ⅱ)因直线L过点B，且斜率为k=-，故有L∶y=-（x-1）.……5分

联立方程组，消去y,得2x²-2x-1=0.          ………7分

设M（x₁,y₁）、N（x₂,y₂），可得，于是.  …………8分

又++=，得=（- x₁- x₂，- y₁- y₂），即H（-1，-）………9分

∴|MN|==   …………11分

(另外求出两个点M、N的坐标也可)

又L: x+2y-=0，则H到直线L的距离为d=     …13分

故所求△MNH的面积为S=    ………………14分