Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin

C

2

=

6

3

，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=（　　）

• A、0
• B、6
• C、9
• D、12

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，C(0，

3

)．由sin

C

2

=

6

3

，可得cos

C

2

=

1-sin2 C 2

，CO，AO=OB=

a2-CO2

．分别取点P靠近点B，A的三等分点．可得P．利用向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算即可得出．

解答： 解：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，C(0，

3

)．
∵sin

C

2

=

6

3

，∴cos

C

2

=

1-sin2 C 2

=

3

3

．
∴CO=

3

．
∴AO=OB=

32-( 3 )2

=

6

．
取点P靠近点B的三等分点．
则P(

6

3

，0)．
∴

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=

CP

•2

CO

=2(

6

3

，-

3

)•(0，-

3

)=6．
同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．
∴

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=6．
故选：B．

点评：本题考查了向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．