Question

已知⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，在直线l：2x-4y+3=0上找一点P（m，n），过点P作⊙C的切线，切点记为M，求使|PM|取最小值的点P的坐标．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：求出圆的圆心C（-1，2），半径为

2

，过圆心C作CP垂直于直线l，过P作圆的切线，此时PM最短，先由圆心C及直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出|CP|的长，再由圆的半径，利用勾股定理求出|PM|的长，即为所求的最小值．再求出此时直线CP的方程联立直线l，求出交点即可．

解答： 解：⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，则圆的圆心C（-1，2），半径为

2

，
连接CP，当CP⊥l时，C到l的距离最小，由于PM为切线，
则|PM|²=|PC|²-r²=|PC|²-2，即有|PM|最小．
由C到l的距离d=

|-2-4×2+3|

4+16

=

7

2 5

，
则此时|PM|的最小值为

49 20 -2

=

3 5

10

，
当CP⊥l时，直线CP：y-2=-2（x+1），即y=-2x，
再由直线l：2x-4y+3=0，解得交点为（-0.3，0.6）．
故使|PM|取最小值的点P的坐标为（-0.3.0.6）．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相切时，切线长的问题，注意运用几何法，考查运算能力，属于中档题．