Question

如图所示，抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为

π

4

的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积 最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积

8

2

．

Answer 1

分析：由题意，可设l的方程为y=x+m，其中-5＜m＜0，与抛物线的方程联立可得△＞0即根与系数的关系，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到三角形的面积，再利用基本不等式即可得出其最大值．

解答：解：由题意，可设l的方程为y=x+m，其中-5＜m＜0，
由方程组

y=x+m y2=4x

，消去y，得x²+（2m-4）x+m²=0，①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式△=（2m-4）²-4m²=16（1-m）＞0，解得m＜1，又-5＜m＜0，
∴m的范围为（-5，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=4-2m，x1?x2=m2，
∴|MN|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4-2m)2-4m2]

=4

2(1-m)

，点A到直线的距离为d=

5+m

2

．
∴S△=2(5+m)

1-m

，
从而

S

2 △

=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)?(5+m)(5+m)≤2(

2-2m+5+m+5+m

3

)3=128，
∴S△≤8

2

，当且仅当2-2m=5+m，即m=-1时取等号．
故直线l的方程为y=x-1，△AMN的最大面积为8

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得△＞0即根与系数的关系、弦长公式和点到直线的距离公式、三角形的面积、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．