Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB=BC=1，CC₁=2，点D是AA₁的中点．

（1）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）求CD与平面BC₁D所成角的正切值；
（3）求点C到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）证明平面BC₁D⊥平面BCD，利用面面垂直的判定，证明C₁D⊥平面BCD即可；
（2）根据斜线CD在平面BC₁D的射影在BD上，可得∠BDC为所求的线面角，根据△BCD是直角三角形，即可求得CD与平面BC₁D所成角的正切值；
（3）点C到平面BDC₁的距离为到交线BD的距离，根据等面积可得结论．

解答：（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥CC₁，
∵AC⊥BC，CC₁∩AC=C
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
而C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
在矩形ACC₁A₁中，DC=DC₁=

2

，CC₁=2，∴DC²+DC₁²=CC₁²，
∴C₁D⊥DC
∵DC∩BC=C
∴C₁D⊥平面BCD
∵C₁D?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）解：由（1）知，斜线CD在平面BC₁D的射影在BD上，∠BDC为所求的线面角
由（1）知，BC⊥平面ACC₁A₁，∴BC⊥CD
∴△BCD是直角三角形，BC=1，CD=

2

∴CD与平面BC₁D所成角的正切值为

2

2

；
（3）解：设所求距离为d，∵平面BC₁D⊥平面BCD，交线为BD
∴点C到平面BDC₁的距离为到交线BD的距离
根据等面积可得1×

2

=

3

d
∴d=

6

3

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查点到面的距离，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出线面角．