Question

（1）（几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为________．
（2）（坐标系与参数方程）圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为________．
（3）（不等式选讲）若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有0，1，2，则b的取值范围是________．

Answer 1

解：（1）令圆O的半径为R，即OA=OB=OC=R
∵AD=5DB∴OD=R，AD=R，BD=R
由相交弦定理可得：CD²=AD•BD=R2，∴CD=R
∴tanθ==
（2））∵圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，
故它们的直角坐标方程为x²+y²=4x，x²+y²=-4y，
故圆心坐标分别为（2，0）、（0，-2），
故经过两圆圆心的直线的直角坐标方程，即x-y-2=0；
（3）由不等式|3x-b|＜4可得＜x＜，
由解集中的整数有且仅有0，1，2，可得-1≤＜0，且 2＜≤3．
解得-1≤b＜4，且 2＜b≤5，故有2＜b＜4，
故b的取值范围是（2，4），
故答案为：；x-y-2=0；（2，4）．
分析：（1）求tanθ的值，可转化为解△OCD，根据相交弦定理，不难求出CD与半径的关系，根据已知也很容易求出OD与半径的关系；
（2）把 圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程，求出两个圆的圆心坐标，用截距式求出经过两圆圆心的直线的直角坐标方程，并化为一般式．
（3）由不等式|3x-b|＜4可得可得＜x＜，由题意可得-1≤＜0，且 2＜≤3，由此求得b的取值范围．
点评：本题主要考查几何证明选讲，考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，绝对值不等式的解法，属于中档题．