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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：（几何证明选讲）
    如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
    AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
    求证：O，C，P，D四点共圆．
    B．选修4-2：（矩阵与变换）
    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[
     
    1
    1
    ]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
    C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
    在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2
    		2
    sin（θ-
    π
    4
    ），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=1+
    4
    5
    t
    y=-1-
    3
    5
    t
    （t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
    D．选修4-5（不等式选讲）
    已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．
    分析：A．因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，圆O中，AM•BM=CM•DM，由此能够证明O，C，P，D四点共圆．
    B．设M=
    ab
    cd
    ，则
    ab
    cd
    1
    1
    =3
    1
    1
    =
    3
    3
    ，
    ab
    cd
    -1
    2
    =
    9
    15
    ，由此能求出M．
    C．将ρ=2
    		2
    sin（θ-
    π
    4
    ），
    x=1+
    4
    5
    t
    y=-1-
    3
    5
    t
    分别化为普通方程：x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦长．
    D．由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（
    		2
    x    ）2+（
    		3
    y    ）2+z2]•[（
    1
    		2
    ）2+（
    1
    		3
    ）2+12]，故2x2+3y2+z2≥
    24
    11
    ，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．
    解答：A．选修4-1：（几何证明选讲）
    证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，
    所以OP垂直平分弦AB，
    在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，…（4分）
    在圆O中，AM•BM=CM•DM，
    所以OM•MP=CM•DM，…（8分）
    又弦CD不过圆心O，所以O，C，P，D四点共圆．…（10分）
    B．选修4-2：（矩阵与变换）
    设M=
    ab
    cd
    ，则
    ab
    cd
    1
    1
    =3
    1
    1
    =
    3
    3
    ，
    故
    a+b=3
    c+d=3
    ．…（4分）
    ab
    cd
    -1
    2
    =
    9
    15
    ，故
    -a+2b=9
    -c+2d=15
    ．…（7分）
    联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
    故M=
    -14
    -36
    ． …（10分）
    C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
    解：将方程ρ=2
    		2
    sin（θ-
    π
    4
    ），
    x=1+
    4
    5
    t
    y=-1-
    3
    5
    t
    分别化为普通方程：
    x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）
    由曲线C的圆心为C（-1，1），半径为
    		2
    ，
    所以圆心C到直线l的距离为
    2
    5
    ，
    故所求弦长为2
    		2-(
    2
    5
    )2
    =
    2
    		46
    5
    ．…（10分）
    D．选修4-5（不等式选讲）
    解：由柯西不等式可知：
    （x+y+z）2≤[（
    		2
    x    ）2+（
    		3
    y    ）2+z2]•[（
    1
    		2
    ）2+（
    1
    		3
    ）2+12]，…（5分）
    故2x2+3y2+z2≥
    24
    11
    ，
    当且仅当
    		2
    x
    1
    		2
    =
    		3
    y
    1
    		3
    =
    z
    1
    ，
    即：x=
    6
    11
    ，y=
    4
    11
    ，z=
    12
    11
    时，
    2x2+3y2+z2取得最小值为
    4
    11
    ．…（10分）
    点评：A考查与圆有关的比例线段的应用，B考查矩阵与变换的应用，C考查极坐标与参数方程的应用，D考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
    B．已知二阶矩阵A=
    2a
    b0
    属于特征值-1的一个特征向量为
    1
    -3
    ，求矩阵A的逆矩阵．

    C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
    x=-
    		3
    t
    y=1+t
    （t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
    D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
    （2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
    A选修4-1：几何证明选讲
    如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
    求证：∠ACB=
    1
    3
    ∠OAC．
    B选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    .
    11
    21
    .
    ，向量
    β
    =
    1
    2
    ．求向量
    a
    ，使得A2
    a
    =
    β
    ．
    C选修4-3：坐标系与参数方程
    已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
    a
    3cos2θ+4sin2θ
    ，焦距为2，求实数a的值．
    D选修4-4：不等式选讲
    已知函数f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
    (a+b+c)2
    3
    （a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
    N点的切线交CA的延长线于P．
    （1）求证：PM2=PA•PC；
    （2）若⊙O的半径为2
    		3
    ，OA=
    		3
    OM，求MN的长．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
    .
    1a
    b1
    .
    的作用下变换为曲线x2-2y2=1，求实数a，b的值；
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
    		2
    cos(θ+
    π
    4
    )    ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=1+
    4
    5
    t 
    y=-1-
    3
    5
    t 
    （t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
    D．选修4-5：不等式选讲
    设a，b，c均为正实数．
    （1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
    （2）求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    设M=
    .
    10
    02
    .
    ，N=
    .
    1
    2
    		0
    01
    .
    ，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
    		2
    cos(θ+
    π
    4
    )    ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=1+
    4
    5
    t
    y=-1-
    3
    5
    t
    （t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
    D．选修4-5：不等式选讲
    解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

     选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
    A、（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB2=AE•AD
    B、（选修4-2：矩形与变换）
    已知a，b实数，如果矩阵M=
    1a
    b2
    所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
    C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
    设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
    π
    4
    ）=
    		2
    2
    上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
    D、（选修4-5：不等式选讲）
    设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
    		ab
    +
    		bc
    +
    		ca
    ．

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