Question

（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2

3

，OA=

3

OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=

.

1 a b 1

.

的作用下变换为曲线x²-2y²=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t  y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：A：（1）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．
（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．
B：设P（x，y）为曲线x²-2y²=1上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，所以

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，由此能够求出a和b的值．
C：先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．
D：（1）根据（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，可得 a²+b²+c² 的最小值为

1

3

．
（2）由a，b，c均为正实数，可得

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，同理

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

b+c

，

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

c+a

，相加可得不等式成立．

解答：解：A：（1）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因为OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM²=PN²=PA•PC
（2）∵OM=2，BO=2

3

，BM=4
∵BM•MN=CM•MA=（2

3

+2）（2

3

-2）（2

3

-2）=8，
∴MN=2．
B：（1）设P（x，y）为曲线x²-2y²=1上任意一点，
P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，
则

1 a b 1

x′ y′

=

x y

，
即

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，
代入（x′+ay′）²-2（bx′+y′）²=1，
得（1-2b²）x^'2+（2a-4b）x′y′+（a²-2）y^'2=1，
∵方程x²+4xy+2y²=1，
∴

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，
解得a=2，b=0．
C：⊙C的方程化为ρ=cosθ-sinθ，两边同乘以ρ，得ρ²=ρcosθ-ρsinθ
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x²+y²-x+y=0…（5分）
其圆心C坐标为（

1

2

，-

1

2

），半径r=

2

2

，
又直线l的普通方程为3x+4y+1=0，
∴圆心C到直线l的距离d=

| 3 2 -2+1|

9+16

=

1

10

，
∴弦长AB=2

1 2 - 1 100

=

7

5

…（10分）
D：（1）因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，当且仅当a=b=c=

1

3

时等号成立，
∴a²+b²+c² 的最小值为

1

3

． …5分
证明：（2）∵a，b，c均为正实数，
∴可得

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，
同理

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

b+c

，

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

c+a

，
三个不等式相加得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，当且仅当a=b=c时等号成立．…10分

点评：考查切割线定理、用综合法证明不等式、圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式等．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题．