Question

 选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB²=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
已知a，b实数，如果矩阵M=

1 a b 2

所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
D、（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞

ab

+

bc

+

ca

．

Answer 1

分析：A 利用△ABE∽△ADB，得到

AB

AD

=

AE

AB

，即可得到 AB²=AE•AD．
B 设点（x，y）是直线3x-y=1上的任意一点，在矩阵M的作用下点变成（x^′，y^′），由条件可得

x+ay=x′ bx+2y=y′

，把
 （x^′，y^′） 代入x+2y=1化简，应为3x-y=1，比较系数求出a，b的值．
C 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程可得分别表示圆和一条直线，利用点到直线的距离公式可得直线和圆相离，
从而求得M、N间的最小距离．
D 由条件得到三个基本不等式，相加化简可得结论．

解答：解：A、证明：由AB=AC得∠ABC=∠C，又∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．
又∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴

AB

AD

=

AE

AB

，即 AB²=AE•AD．
B、解：设点（x，y）是直线3x-y=1上的任意一点，在矩阵M的作用下点变成（x^′，y^′），
则

.

1 a b 2

.

.

x y

.

=

.

x′ y′

.

，∴

x+ay=x′ bx+2y=y′

．
因为（x^′，y^′）在x+2y=1上，∴x+ay+2（bx+2y）=1，即 （1+2b）x+（a+4）y=1，∴

1+2b=3 a+4=-1

，
解得a=-5，b=1．
C、解：曲线ρ+2sinθ=0 化为直角坐标方程为x²+y²+2y=0，即x²+（y-1）²=1，
表示以C（0，-1）为圆心，以1为半径的圆．
把ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

化为直角坐标方程为 x+y-1=0，表示一条直线，圆心C到直线的距离

|-1-1|

2

=

2

＞1，故直线和圆相离，故M、N间的最小距离为

2

-1．
D、证明：∵a，b，c是不完全相等的正数，∴a+b≥2

ab

，c+b≥2

cb

，a+c≥2

ac

，
且这三个式子不能同时取等号．
这三个式子相加可得2（a+b+c）＞2（

ab

+

bc

+

ac

），即 a+b+c＞

ab

+

bc

+

ca

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，简单的矩阵运算和利用基本不等式证明不等式，属于基础题．