Question

选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．

B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R若矩阵M=

.

-1 a b 3

.

所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

C．选修4-4：坐标系与参数方程
将参数方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

（t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b是正数，求证：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

Answer 1

分析：A：根据题意，连接DF．因为BC与圆相切，有切线的性质可得所以∠CDF=∠DAF，再有圆周角的性质可得∠EFD=∠EAD，根据题意易得∠EAD=∠DAF，则有∠CDF=∠EFD，由平行线的判定方法可得EF∥BC．   
B：根据题意，先设P（x，y）为直线2x-y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'），由矩阵变化可得（x，y）与（x'，y'）的关系，将其代入2x-y=3得-（b+2）x+（2a-3）y=3，依题意其与2x-y=3完全一样，比较系数可得答案．
C：由整式关系可得（t+

1

t

）²-（t-

1

t

）²=4，而x=2（t+

1

t

），y=4（t-

1

t

），即可得（

x

2

）²-（

y

4

）²=4，化简可得答案．
D：从左边向右边证明，先把左边展开可得左式=2ab+

1

2ab

+

5

2

，再由不等式的性质，可=2ab+

1

2ab

≥2

2ab• 1 2ab

=2，代入前式可得证明．

解答：解：A：证明：如图，连接DF．
因为BC与圆相切，
所以∠CDF=∠DAF．
因为∠EFD与∠EAD为弧DE所对的圆周角，
所以∠EFD=∠EAD．
又因为AD是∠BAC的平分线，
故∠EAD=∠DAF． 
所以∠CDF=∠EFD，
所以EF∥BC．   
B：设P（x，y）为直线2x-y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'），
则

-1 b

   

a 3

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

⇒

x′=-x+ay y′=bx+3y

代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其与2x-y=3完全一样．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

⇒

b=-4 a=1

；
C：因为（t+

1

t

）²-（t-

1

t

）²=4，且x=2（t+

1

t

），y=4（t-

1

t

），
所以（

x

2

）²-（

y

4

）²=4，
化简得普通方程为

x2

16

-

y2

64

=1．
D：证明：左式=（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）=2ab+

1

2ab

+2+

1

2

=

5

2

+2ab+

1

2ab

≥

5

2

+2

2ab• 1 2ab

=

5

2

+2≥

9

2

=右式；
即的证（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

点评：本题为选做题，一般为4选2或4选1，考查了圆的切线性质，二阶矩阵的线性表示，简单的参数方程化为普通方程，简单不等式的证明，是一道综合题．