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    选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    设M=
    .
    10
    02
    .
    ，N=
    .
    1
    2
    		0
    01
    .
    ，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
    		2
    cos(θ+
    π
    4
    )    ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=1+
    4
    5
    t
    y=-1-
    3
    5
    t
    （t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
    D．选修4-5：不等式选讲
    解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．
    分析：A先根据条件得到DP2=DB•DC；进而得到△BDP∽△PDC即可得到结论；
    B 先求出MN，再设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（a，b）．根据矩阵变换得到即
    x=2a
    y=
    1
    2
    b
    ，再代入原函数即可得到结论．
    C 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程可得分别表示圆和一条直线，利用点到直线的距离公式可得弦心距，最后结合弦长公式即可得到结论．
    D 分情况去绝对值，分别求解即可．
    解答：选做题
    A．证明：因为PA与圆相切于A，
    所以DA2=DB•DC，…（2分）
    因为D为PA中点，所以DP=DA，
    所以DP2=DB•DC，即
    PD
    DC
    =
    DB
    PD
    ． …（5分）
    因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，…（8分）
    所以∠DPB=∠DCP．                  …（10分）
    B．MN=
    .
    10
    02
    .
    .
    1
    2
    		0
    01
    .
    =
    .
    1
    2
    		0
    02
    .
    ，…（4分）
    设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（a，b）．
    则
    .
    1
    2
    		0
    02
    .
    .
    x 
    y 
    .
    =
    .
    a 
    b 
    .
    ，所以
    a=
    1
    2
    x
    b=2y
    即
    x=2a
    y=
    1
    2
    b
           …（8分）
    代入y=sinx得：
    1
    2
    b=sin2a，即b=2sin2a．
    即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y=2sin2x．  …（10分）
    C．曲线C的极坐标方程ρ=
    		2
    cos（θ+
    π
    4
    ）=cosθ-sinθ，
    化为直角坐标方程为x2+y2-x+y=0，即（x-
    1
    2
    ）2+（y+
    1
    2
    ）2=
    1
    2
    ．…（3分）
    直线L：
    x=1+
    4
    5
    t
    y=-1-
    3
    5
    t
    ，（t为参数）可化为3x+4y+1=0，…（6分）
    圆心到直线的距离d=
    |3×
    1
    2
    -4×
    1
    2
    +1|
    5
    =
    1
    10
    ，…（8分）
    弦长L=2
    		R2-d2
    =
    7
    5
    ．．…（10分）
    D．当x≥4时，2x+1-x+4＜2，解得x＜-3（舍去）；…（3分）
    当-
    1
    2
    ≤x＜4时，2x+1+x-4＜2，解得x＜
    5
    3
    ，∴-
    1
    2
    ≤x＜
    5
    3
    ；…（6分）
    当x＜-
    1
    2
    时，-2x-1+x-4＜2，解得x＞-7，∴-7＜x＜-
    1
    2
    ．…（9分）
    综上，不等式的解集为（-7，
    5
    3
    ）．…（10分）
    点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，简单的矩阵运算和绝对值不等式的解法，属于基础题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
    π
    2
    ），若直线l过点P，且倾斜角为 
    π
    3
    ，圆C以M为圆心、4为半径．
    （1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
    （2）试判定直线l和圆C的位置关系．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
    N点的切线交CA的延长线于P．
    （1）求证：PM2=PA•PC；
    （2）若⊙O的半径为2
    		3
    ，OA=
    		3
    OM，求MN的长．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
    .
    1a
    b1
    .
    的作用下变换为曲线x2-2y2=1，求实数a，b的值；
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
    		2
    cos(θ+
    π
    4
    )    ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=1+
    4
    5
    t 
    y=-1-
    3
    5
    t 
    （t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
    D．选修4-5：不等式选讲
    设a，b，c均为正实数．
    （1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
    （2）求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    （B）（选修4-2：矩阵与变换）
    二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=
    1
    1
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
    （C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
    已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
    x=-
    		3
    t
    y=1+t
    （t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

     选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
    A、（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB2=AE•AD
    B、（选修4-2：矩形与变换）
    已知a，b实数，如果矩阵M=
    1a
    b2
    所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
    C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
    设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
    π
    4
    ）=
    		2
    2
    上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
    D、（选修4-5：不等式选讲）
    设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
    		ab
    +
    		bc
    +
    		ca
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．

    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知a，b∈R若矩阵M=
    .
    -1a
    b3
    .
    所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    将参数方程
    x=2(t+
    1
    t
    )
    y=4(t-
    1
    t
    )
    （t为参数）化为普通方程．
    D．选修4-5：不等式选讲
    已知a，b是正数，求证：（a+
    1
    b
    ）（2b+
    1
    2a
    ）≥
    9
    2
    ．

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