Question

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2 a b 0

属于特征值-1的一个特征向量为

1 -3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

Answer 1

分析：A．由题意，连接OC，可得△ACB是含有60°角的直角三角形，结合切线的性质和等边对等角算出∠DAC的度数，进而根据BC=3算出线段AE的长．
B．根据特征向量的定义，用待定系数法可求出矩阵A的值，再用逆矩阵的公式即可求出矩阵A的逆矩阵．
C．分别将曲线C与直线l化成普通方程，然后将直线l平移到与曲线C相切，即可得到与l较远的切线到l的距离即为所求．
D．（1）利用基本不等式，结合同向两个不等式相乘，即可得到（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³成立；
（2）分两种情况：x为正数和x为负数或零加以讨论，并结合因式分解判断积的符号，不难得到对任意x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³仍然成立．

解答：解：A．如图，连接OC，可得BC=OB=OC=3，
因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，
所以∠DCA=60°，结合AD⊥DC得∠DAC=30°．
又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，所以∠EAB=60°，
从而∠ABE=30°，于是AE=

1

2

AB=3．
B．根据题意，得

2 a b 0

•

1 -3

=

1 -3

，即

2-3a b

=

1 -3

，可得

2-3a=1 b=-3

，解之得a=

1

3

，b=-3
∴A=

2 1 3 -3 0

，再由逆矩阵公式可得A的逆矩阵为A^-1=

0 - 1 3 3 2

；
C．将曲线C的极坐标方程化成普通方程，得

x2

3

+y2=1，
直线l的普通方程为：x+

3

y-

3

=0，
设动直线m：x+

3

y+n=0，与曲线C相切，
联解

x2 3 +y2=1 x+ 3 y+n=0

，由根的判别式，解得n=±

6

检验得当n=

6

时，直线m与曲线C的切点到直线l的距离最大，
这个最大距离为d=

| 6 + 3 |

1+3

=

3 + 6

2

∴曲线C上点M到直线l的距离的最大值是

3 + 6

2

．
D．（1）∵x是正数，∴1+x≥2

x

，1+x²≥2x，1+x³≥2

x3

由于以上3个不等式的两边都是正数，所以将它们相乘可得：
（1+x）（1+x²）（1+x³）≥2

x

•2x•2

x3

=8x³，
即不等式：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³对任意正数x恒成立；
（2）①当x＞0时，由（1）的结论可得（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³成立；
②当x≤0时，（1+x）（1+x²）（1+x³）=（1+x）²（1+x²）（1-x+x²）=（1+x）²（1+x²）[（x-

1

2

）²+

3

4

]
而（1+x）²＞0，1+x²＞0且（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

＞0，可得（1+x）（1+x²）（1+x³）＞0
因为8x³≤0，所以（1+x）（1+x²）（1+x³）＞8x³
综上所述，对任意x∈R，都有不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³成立．

点评：本题通过几道解答题，考查了参数方程与极坐标、矩阵变换、不等式的证明和平面几何证明等理科附加知识的掌握，属于综合性较强的中档题．