Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在其表面上运动，且|PA|=x，把点的轨迹长度L=f（x）称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ① ；② ；③ ；④
其中正确的结论是： ． （填上你认为所有正确的结论序号）

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：∵动点P在其表面上运动，且|PA|=x，

∴点的轨迹是以A为球心，PA为半径的球的球面与正方体的面的交线，①当0＜x≤1时，点的轨迹如图（1），则f（x）=3× ，所以 ，故①错；

②当1 时，点P的轨迹在六个面都有，

x= 时，在与A相邻的三个面上的圆弧的圆心角为 ，在另外三个面上都是四分之一圆弧，

∴ = ，故③正确③当x= 时，如图（3）点P的轨迹是三段相等圆弧，圆弧的长是四分之一个圆，半径是1，

∴这条轨迹的长度是：3× ，故②正确；

④当 时，点P的轨迹是三段相等圆弧，在与点A不相邻的三个面上，圆弧半径R= ，

圆弧的圆心角为 ，∴f ，故④正确；

所以答案是：②③④

【考点精析】通过灵活运用棱柱的结构特征，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形即可以解答此题．