Question

【题目】已知等差数列{an}中，a1=1，且a1 ， a2 ， a4+2成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，且a1，a2，a4+2成等比数列．

∴ =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d=2或﹣1．

其中d=﹣1时，a2=0，舍去．

∴d=2，可得an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

Sn= =n2．

（2）解： = ．

∴当n为偶数时， = =16．当n为奇数时， = = ．

∴数列{bn}的奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．

∴数列{bn}的前2n项和T2n=（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

= +

= （16n﹣16﹣n）．

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，且a1，a2，a4+2成等比数列．可得： =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d．经过验证可得d，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2） = ．当n为偶数时， = =16．当n为奇数时， = = ．可得数列{bn}的奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．利用求和公式即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．