Question

如果函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[-

  2 3

  3

  ，

  2 3

  3

  ]
• B、(-

  2 3

  3

  ，

  2 3

  3

  )
• C、[-

  2 3

  3

  ，0)∪(0，

  2 3

  3

  ]
• D、(-

  2 3

  3

  ，0)∪(0，

  2 3

  3

  )

Answer 1

分析：由题意函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，必有函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足其最大值与最小值的差小于等于1，由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函数的导数，用导数判断出最值，求出最大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值

解答：解：由题意f′（x）=x²-a²
当a²≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=

1

3

-a²，故有a2-

1

3

≤1，解得|a|≤

2 3

3

，故可得1≤a≤

2 3

3

当a²∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上增，在[a，1]上减，故最大值为f（a）=-

2

3

a3又f（0）=0，矛盾，a∈[0，1]不成立，
故选A．

点评：考查学生理解函数恒成立的条件，理解导数的几何意义，以及利用导数求函数最值的能力．