Question

16．已知直线x-2y+2与圆C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（-1，0）作圆C的切线，求切线的直线方程；
（3）若抛物线y=x²上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）求得圆心到直线的距离，由弦长公式，计算即可得到m=3，进而得到圆的方程；
（2）分类讨论，运用直线和圆相切的条件，求得k，即可得出结论；
（3）设P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），求得直线PQ，PR，QR的方程，运用直线和圆相切的条件，化简整理，再由韦达定理，可得b，c的关系，再由圆心到直线QR的距离，即可判断所求位置关系．

解答 解：（1）圆心C（0，2）到直线x-2y+2与的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵截得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴r=1
∴圆C的方程为：x²+（y-2）²=1 …4分
（2）斜率不存在时，x=-1满足题意；
斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-2+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，切线方程为3x+4y+3=0，
综上所述，切线方程为x=-1或3x+4y+3=0；
（3）解：设P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），可得k_PQ=a+b，
直线PQ的方程为y-a²=（a+b）（x-a），即为y=（a+b）x-ab，
同理可得，直线PR的方程为y=（a+c）x-ac，
直线QR的方程为y=（b+c）x-bc，
∵直线PQ和PR都与圆C相切，
∴$\frac{|2+ab|}{\sqrt{（a+b）^{2}+1}}$=1，$\frac{|2+ac|}{\sqrt{（a+c）^{2}+1}}$=1，即为b²（1-a²）-2ab+a²-3=0，
c²（1-a²）-2ac+a²-3=0，即有b，c为方程x²（1-a²）-2ax+a²-3=0的两根，
可得b+c=$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，bc=$\frac{{a}^{2}-3}{1-{a}^{2}}$，
由圆心到直线QR的距离为$\frac{|2+bc|}{\sqrt{1+（b+c）^{2}}}$=1，
则直线QR与圆C相切． …16分．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交的弦长公式和相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．