Question

3．当x满足log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥-2时，求函数f（x）=4^-x-2^1-x+1的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析 根据对数的性质求出x的取值范围，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-x）≥-2得0＜3-x≤4，
得-1≤x＜3，
则f（x）=4^-x-2^1-x+1=（2^-x）²-2•2^-x+1，
令t=2^-x，则$\frac{1}{8}$＜t≤2，
则函数等价为y=t²-2t+1=（t-1）²，
则当t=1时，函数取得最小值y=0，此时t=2^-x=1得x=0，
当t=2时，函数取得最大值y=1，此时t=2^-x=2得x=-1．

点评 本题主要考查函数最值的应用，利用换元法结合对数函数，指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．