Question

13．已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调增函数，若f（-1）=0，则满足不等式（x-1）f（lnx）＜0的x的取值范围是多少．

Answer 1

分析 画出函数f（x）的单调性示意图，故由（x-1）f（lnx）＜0 可得①$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{f（lnx）＜0}\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{f（lnx）＞0}\end{array}\right.$．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：由题意可得，函数f（x）的图象关于y轴对称，
f（x）在（-∞，0]上是减函数，且f（-1）=0．
函数f（x）的单调性示意图如图所示：
故由（x-1）f（lnx）＜0 可得，
①$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{f（lnx）＜0}\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{f（lnx）＞0}\end{array}\right.$．
由①可得1＜x＜e．
由②可得x＜$\frac{1}{e}$．
综上可得，（x-1）f（lnx）＜0的解集为（-∞，$\frac{1}{e}$）∪（1，e）．

点评 本题主要考查求函数的单调性和奇偶性的应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．