Question

D1

 如图，长方体中，，点E是AB的中点.

（1）证明：平面

C1

（2）证明：

A1

（3）求二面角的正切值.

E

B1

B

A

C

D

Answer 1

（1）证明：连结AD₁交A₁D于O，连结EO，则O为AD₁的中点，又因为E是AB的中点，

所以OE∥BD₁.

又∵平面A₁DE  BD₁平面A₁DE  ∴BD₁∥平面A₁DE  ……………………4分

（2）证明：由题可知：四边形ADD₁A₁是正方形

∴A₁D⊥AD₁  又∵AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D平面ADD₁A₁

∴AB⊥AD₁  又∵AB平面AD₁E，AD₁平面A D₁E  ABAD₁＝A

∴A₁D⊥平面AD₁E  又∵D₁E平面AD₁E      ∴A₁D⊥D₁E  ………………………8分

（3）解：在△CED中，CD＝2，，

CD²=CE²+DE²   ∴CE⊥DE。

又∵D₁D⊥平面ABCD  CE平面ABCD  ∴CE⊥D₁D

又∵平面D₁DE  DE平面D₁DE  D₁DDE=D

∴CE⊥平面D₁DE  又∵D₁E⊥平面D₁DE，∴CE⊥D₁E.

∴∠D₁ED是二面角D₁—ED—D的一个平面角.

在△D₁ED中，∠D₁DE=90°,D₁D=1, DE=

∴  ∴二面角D₁—ED—D的正切值是  …………12分