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(2013•湖北)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S
(Ⅰ)证明:中截面DEFG是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V=S-h来估算.已知V=
13
(d1+d2+d3)S,试判断V与V的大小关系,并加以证明.
分析:(Ⅰ)首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行,然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等,则可证明中截面DEFG是梯形;
(Ⅱ)由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高,根据四边形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形,利用梯形的中位线公式吧DE,FG用d1,d2,d3表示,这样就能把V用含有a,h,d1,d2,d3的代数式表示,把V=
1
3
(d1+d2+d3)S与V作差后利用d1,d2,d3的大小关系可以判断出差的符号,及能判断V与V的大小关系.
解答:(Ⅰ)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,
所以A1A2∥B1B2∥C1C2,又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3
因此四边形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形.
由AA2∥平面MEFN,AA2?平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME,
可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又M,N分别为AB,AC的中点,
则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1 的中点,
即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.
因此DE=
1
2
(A1A2+B1B2)=
1
2
(d1+d2)
,FG=
1
2
(A1A2+C1C2)=
1
2
(d1+d3)

而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形;
(Ⅱ)V<V.证明:
由A1A2⊥平面ABC,MN?平面ABC,可得A1A2⊥MN.
而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.
由MN是△ABC的中位线,可得MN=
1
2
BC=
1
2
a,即为梯形DEFG的高,
因此S=S梯形DEFG=
1
2
(
d1+d2
2
+
d1+d3
2
)
a
2
=
a
8
(2d1+d2+d3)

V=S•h=
ah
8
(2d1+d2+d3)
.又
S=
1
2
ah,所以V=
1
3
(d1+d2+d3)S=
ah
6
(d1+d2+d3)

于是V-V=
ah
6
(d1+d2+d3)-
ah
8
(2d1+d2+d3)
=
ah
24
[(d2-d1)+(d3-d1)]

由d1<d20,d3-d1>0,故V<V.
点评:本题考查直三棱柱的性质,体积,线面关系及空间想象能力,解答该题的关键是要有较强的空间想象能力,避免将各线面间的关系弄错,此题是中高档题.
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DQ
=
1
2
CP
.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E-l-C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.

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n(n+1)
2
=
1
2
n2+
1
2
n
.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数N(n,3)=
1
2
n2+
1
2
n

正方形数N(n,4)=n2
五边形数N(n,5)=
3
2
n2-
1
2
n

六边形数N(n,6)=2n2-n,

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=
1000
1000

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mn
,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2
(Ⅰ)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.

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