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    （2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（　　）
    分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
    ③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125-（8=36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
    解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
    ①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=
    8
    125
    ；
    ②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=
    36
    125
    ；
    ③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=
    54
    125
    ．
    ④由以上可知：还剩下125-（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=
    27
    125
    ．
    X 0 1 2 3
    P  
    27
    125
    54
    125
     
    36
    125
     
    8
    125
     
    故X的分布列为
    因此E（X）=0×
    27
    125
    +1×
    54
    125
    +2×
    36
    125
    +3×
    8
    125
    =
    6
    5
    ．
    故选B．
    点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．
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    （Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
    （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足
    DQ
    =
    1
    2
    CP
    ．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

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    （2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为
    n(n+1)
    2
    =
    1
    2
    n2+
    1
    2
    n    ．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
    三角形数N(n，3)=
    1
    2
    n2+
    1
    2
    n    ，
    正方形数N（n，4）=n2，
    五边形数N(n，5)=
    3
    2
    n2-
    1
    2
    n    ，
    六边形数N（n，6）=2n2-n，
    …
    可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=
    1000
    1000
    ．

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    （2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记λ=
    mn
    ，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
    （Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
    （Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．

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    （Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
    （Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中-h来估算．已知V=
    13
    （d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．

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