Question

14．有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入如图所示编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．
（1）放置小球满足：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5，且j≠k）使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；
（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）阅读题意得出满足条件的发放分为两类：
①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有2×${C}_{4}^{2}$${×C}_{5}^{2}$=120，运用古典概率公式求解即可．
（2）确定X的可能的值为2，3，4，5．分别求出概率得出分布列，即可求解数学期望．

解答 解：（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有4⁵种放法，
满足条件的发放分为两类：
①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有2×${C}_{4}^{2}$${×C}_{5}^{2}$=120，
所求的概率为P=$\frac{4+120}{{4}^{5}}$=$\frac{31}{256}$；
（2）X的可能的值为2，3，4，5．
则：P（X=2）=$\frac{{{C}_{4}^{1}A}_{5}^{3}{+C}_{4}^{2}{×C}_{2}^{1}{×C}_{5}^{1}{×C}_{4}^{2}}{{4}^{5}}$=$\frac{75}{128}$，
P（X=3）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{5}^{3}•{3}^{2}}{{4}^{5}}$=$\frac{45}{128}$，
P（X=4）=$\frac{{{{C}_{4}^{1}C}_{5}^{4}C}_{3}^{1}}{{4}^{5}}$=$\frac{15}{256}$，
P（X=5）=$\frac{4}{{4}^{5}}$=$\frac{1}{256}$；
所以X的概率分布列为：

X	2	3	4	5
P	$\frac{75}{128}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{15}{256}$	$\frac{1}{256}$

E（X）=2×$\frac{75}{128}$$+3×\frac{45}{128}$$+4×\frac{15}{256}$$+5×\frac{1}{256}$=$\frac{635}{256}$．

点评 本题考察了实际问题与概率的结合，仔细阅读题意得出所求概率的类比，熟练利用排列组合知识求解即可，难度较大．