Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{c_n}对n∈N^*，恒有

c1

b1

+

c2

2b2

+

c3

3b3

+…+

cn

nbn

=

a

n+1

，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值；
（Ⅲ）试比较

3bn-1

3bn+1

与

an+1

an+2

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₃-a₁=2d，可得d=2．所以a_n=2（n-1）．由

b3

b1

=q2，可得q=3．所以b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由题设知c₁=a₂b₁=2．然后结合题高级条件利用错位相减法能够求出c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．
（Ⅲ）由题设条件知

3bn-1

3bn+1

=

3n-1

3n+1

=1-

2

3n+1

，

an+1

an+2

=

2n

2(n+1)

=1-

2

2n+2

．所以通过用数学归纳法比较3ⁿ+1与2n+2的大小就能得到

3bn-1

3bn+1

与

an+1

an+2

的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，
∴f（d+1）-f（d-1）=2d．即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．
∴a_n=2（n-1）．
∵

b3

b1

=q2，
∴

f(q+1)

f(q-1)

=q2=

q2

(q-2)2

．
∵q≠0，q≠1，
∴q=3．
又b₁=f（q-1）=1，∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由题设知

c1

b1

=a2，∴c₁=a₂b₁=2．
当n≥2时，

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1，

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

=an，
两式相减，得

cn

nbn

=an+1 -an=2．
∴c_n=2nb_n=2n•3^n-1（c_n=b₁a₂适合）．
设T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，
∴T=2+6×3²+10×3⁴+…+（4n-2）•3^2n-2，
3²T=2×3²+6×3⁴+10×3⁶+…+（4n-6）•3^2n-2+（4n-2）•3²ⁿ，
两式相减，得
-8T=2+4×3²+4×3⁴+…+4×3^2n-2-（4n-2）•3²ⁿ
=2+4×

9(9n-1-1)

9-1

-(4n-2)•9n
=2+

1

2

×9n-

9

2

-(4n-2)×9n
=-

5

2

+

5

2

×9n-4n•9n．
∴T=

5

16

+(

n

2

-

5

16

)  •32n．
（Ⅲ）

3bn-1

3bn+1

=

3n-1

3n+1

=1-

2

3n+1

，

an+1

an+2

=

2n

2(n+1)

=1-

2

2n+2

．
现只须比较3ⁿ+1与2n+2的大小．
当n=1时，3ⁿ+1=4=2n+2；
当n=2时，3ⁿ+1=10＞2n+2=6；
当n=3时，3ⁿ+1=28＞2n+2=8；
当n=4时，3ⁿ+1=82＞2n+2=10．
猜想n≥2时，3ⁿ+1＞2n+2．
用数学归纳法证明
（1）当n=2时，左边=3ⁿ+1=10，右边=2n+2=6，3ⁿ+1＞2n+2成立．
（2）假设当n=k时，不等式成立，即3^k+1＞2k+2．
当n=k+1时，3^k+1+1=3×3^k+1=3^k+1+2×3^k＞2k+2+2×3^k＞2k+2+2=2（k+1）+2．
即当n=k+1时，不等式也成立．
由（1）（2），可知n＞2时，3ⁿ+1＞2n+2都成立．
所以3ⁿ+1≥2n+2（当且仅当n=1时，等号成立）
所以1-

2

3n+1

≥1-

2

2n+2

．即

3bn-1

3bn+1

≥

an+1

an+2

．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．