Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥PD；
（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥平面PAD，由此能证明AB⊥PD．
（Ⅱ）取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，设AB=x，则V_P-ABCD=

1

3

×OP×SABCD=

1

3

2-x2

•x•2

2

=

2 2

3

-(x2-1)2+1

，当且仅当x²=1，即x=1时，四棱锥P-ABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
∴AB⊥PD．
（Ⅱ）解：由题意得AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴在Rt△PAB与Rt△PDC中，PB=PC=2，
AB=DC，∴PA=PD，∴△PAD为等腰三角形，
取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，
取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，
设AB=x，则OM=AB=x，
在△BPC中，∠BPC=90°，PB=PC=2，∴BC=2

2

，
PM=

1

2

BC=

2

，
∴在Rt△POM中，PO=

2-x2

，
∴V_P-ABCD=

1

3

×OP×SABCD=

1

3

2-x2

•x•2

2

=

2 2

3

2x2-x4

=

2 2

3

-(x2-1)2+1

，
当且仅当x²=1，即x=1时，四棱锥P-ABCD的体积最大，
此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），B（

2

，1，0），C（-

2

，1，0），
D（-

2

，0，0），P（0，0，1），
∴

PC

=(-

2

，1，-1)，

CD

=（0，-1，0），
设平面PDC的一个法向量

n

=（x，y，z），
由

n • PC =- 2 x+y-z=0 n • CD =-y=0

，
令x=1，解得

n

=（1，0，-

2

），
又

PB

=（

2

，1，-1），
设直线PB与平面PDC所成角为θ，
sinθ=|cos＜

PB

，

n

＞|=|

2 + 2

3 × 4

|=

6

3

．
∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查异面向量垂直的证明，考查四面体体积最大时线段长的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．