Question

如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
（1）求cos＜

AB

，

PD

＞的值；
（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求|

EF

|的值；
（3）求二面角P-BC-D的大小．

Answer 1

分析：选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-

a

2

，0），B（

3

2

a，0，0），P（0，0，

3

2

a），D（0，

a

2

，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）所以

AB

=（

3

2

a，

a

2

，0），

PD

=（0，

a

2

，-

3

2

a），则cos＜

AB

，

PD

＞=

1

4

．
（2）因为E、F分别为AB、PD的中点，所以E（

3

4

a，-

a

4

，0），F（0，

a

4

，

3

4

a）．则|

EF

|=

10

4

a．
（3）因为面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，所以PO⊥面ABCD．因为BO⊥AD，AD∥BC，所以BO⊥BC．连接PB，则PB⊥BC，所以∠PBO为二面角P-BC-D的平面角．

解答：解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-

a

2

，0），B（

3

2

a，0，0），P（0，0，

3

2

a），D（0，

a

2

，0）．
∴

AB

=（

3

2

a，

a

2

，0），

PD

=（0，

a

2

，-

3

2

a），
则cos＜

AB

，

PD

＞=

AB • PD

| AB || PD |

=

3 a ×0+ a 2 × a 2 +0×(- 3 2 a)

( 3 2 a)2+( a 2 )2+02 × 02+( a 2 )2+(- 3 2 a)2

=

1

4

．
（2）∵E、F分别为AB、PD的中点，
∴E（

3

4

a，-

a

4

，0），F（0，

a

4

，

3

4

a）．
则|

EF

|=

( 3 4 a-0)2+(- a 4 - a 4 )2+(0- 3 4 a)2

=

10

4

a．
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD．
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC．
连接PB，则PB⊥BC，
∴∠PBO为二面角P-BC-D的平面角．
在Rt△PBO中，PO=

3

2

a，BO=

3

2

a，
∴tan∠PBO=

PO

BO

=

3 2 a

3 2 a

=1．则∠PBO=45°．
故二面角P-BC-D的大小为45°．

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．