Question

（2012•宁城县模拟）如图，ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求点F到平面BDE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥BD．再由ABCD是正方形，能够证明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）取BE的中点G，设正方形ABCD对角线交于O，所以OG∥DE，OG=

1

2

DE，由此入手能够求出F到平面BDE的距离．

解答：（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以DE⊥BD．
又ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
而BD∩DE=D，
所以AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：取BE的中点G，
设正方形ABCD对角线交于O，
所以OG∥DE，OG=

1

2

DE，
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AFGO是平行四边形，即FG∥AO，
由（Ⅰ）知AC⊥平面BDE，∴FG⊥平面BDE，
即FG为F到平面BDE的距离，
∵FG=AO=

2

，
∴F到平面BDE的距离为

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．