Question

12．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，过圆C：x²+y²=r²（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当r为何值时，OA⊥OB；
（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8knx+4n²-4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．
（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k₁x，（k₁≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得|MN|=2OM=4$\sqrt{\frac{{{k}_{1}}^{2}+1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$，同理，|OP|=$\sqrt{\frac{{{k}_{1}}^{2}+1}{4+{{k}_{1}}^{2}}}$，由此能求出△PMN面积的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，
即x₁=x₂=±r，
代入椭圆方程，得${{y}_{1}}^{2}={{y}_{2}}^{2}=1-\frac{{r}^{2}}{4}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=${{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}$=r²-（1-$\frac{{r}^{2}}{4}$）=$\frac{5{r}^{2}}{4}-1$，
∵0＜r＜1．∴当r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即OA⊥OB，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8knx+4n²-4=0，
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kn}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{n}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）
=（1+k²）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²
=$\frac{（1+{k}^{2}）（4{n}^{2}-4）-8{k}^{2}{n}^{2}+{n}^{2}+4{k}^{2}{n}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
=$\frac{5{n}^{2}-4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
∵直线l与圆C相切，∴$\frac{|n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，即n²=r²（1+k²），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{（5{r}^{2}-4）（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
∵0＜r＜1，∴当r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即OA⊥OB，
综上，r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，
∴OP⊥MN，且MN过原点O，
当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k₁x，（k₁≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得${{x}_{M}}^{2}=\frac{4}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，${{y}_{M}}^{2}=\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+4{k}_{1}{\;}^{2}}$，
∴|MN|=2OM=2$\sqrt{{{x}_{M}}^{2}+{{y}_{M}}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{{{k}_{1}}^{2}+1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$，
同理，|OP|=2$\sqrt{\frac{1+\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}}{1+4×\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}}}$=2$\sqrt{\frac{{{k}_{1}}^{2}+1}{4+{{k}_{1}}^{2}}}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|OP|•|MN|=4$\sqrt{\frac{（{{k}_{1}}^{2}+1）^{2}}{（4+{{k}_{1}}^{2}）（1+4{k}_{1}{\;}^{2}）}}$=4$\sqrt{\frac{1}{4-\frac{12}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}}$∈[$\frac{8}{5}$，2），
当MN与坐标轴垂直时，S_△PMN=2，
∴△PMN面积的取值范围是[$\frac{8}{5}$，2]．

点评 本题考查满足两线段垂直的圆的半径的求法，考查三角面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、弦长公式、韦达定理的合理运用，是难题．