Question

已知定义在R的单调函数f （x），存在常数x₀，使得对于任意的x₁、x₂∈R，总有f （x₀x₁+x₀x₂）=f （x₀）+f （x₁）+f （x₂）成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f （x₀）=1，a_n=

1

f(n)

 （n∈N₊），S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较S_n与

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意对于任意实数x₁，x₂等式恒成立，故可采用赋值法求解；
（2）先证明{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此得 a_n=

1

2n-1

，从而可求S_n，再比较S_n与

1

2

的大小，即可求得结果．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）．①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）．②
由①②得   f（x₀）=f（1）．∴f（x）为单调函数，
∴x₀=1．
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1．
∵f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（1）=1，∴f（n）=2n-1．（n∈Z^*）
∴a_n=

1

2n-1

．
∴Sn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（ 1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

点评：本题考查抽象函数的求值问题，一般采用赋值法解决，求数列的和，关键是求出其通项，再利用相应的求和公式，综合性较强，属中档题．