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已知x=1是函数f(x)=
1
2
x2-6x+mlnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求m;
(Ⅱ)若直线y=n与函数y=f(x)的图象有3个交点,求n的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=(-5-a)lnx+
1
2
x2
+(6-b)x+2(a>0),G(x)=f(x)+g(x),若G(x)=0有两个不同零点x1,x2,且x0=
x1+x2
2
,试探究G′(x0)值的符号.
(Ⅰ)因为f′(x)x-6+
m
x

所以f′(1)=1-6+m=0,解得m=5;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
1
2
x2-6x+5lnx
(x>0),
所以f′(x)=x-6+
5
x
=
x2-6x+5
x
=
(x-1)(x-5)
x

当x∈(1,5)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(5,+∞)或x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)的极大值为f(1)=
1
2
-6
=-
11
2

极小值为f(5)=
1
2
×25-30+5ln5
=-
35
2
+5ln5,
又x→0时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→+∞,
结合图象可知:当且仅当f(5)<n<f(1)时,直线y=n与函数y=f(x)的图象有3个交点,
∴-
35
2
+5ln5<n<-
11
2

(III)G′(x0)的符号为正.证明如下:
因为G(x)=f(x)+g(x)=
1
2
x2-6x+5lnx
+(-5-a)lnx+
1
2
x2
+(6-b)x+2=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2
所以有
x12+2-alnx1-bx1=0
x22+2-alnx2-bx2=0

两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即x2+x1-b=
a(lnx2-lnx1)
x2-x1

于是G′(x0)=2x0-
a
x0
-b=(x1+x2-b)-
2a
x1+x2

=
a(lnx2-lnx1)
x2-x1
-
2a
x1+x2
=
a
x2-x1
[ln
x2
x1
-
2(x2-x1)
x1+x2
]=
a
x2-x1
[ln
x2
x1
-
2(
x2
x1
-1)
1+
x2
x1
],
①,令
x2
x1
=t,则t>1,且G′(x0)=
a
x2-x1
(lnt-
2(t-1)
1+t
).
设u(t)=lnt-
2(t-1)
1+t
(t>1),
则u′(t)=
1
t
-
4
(1+t)2
=
(1-t)2
t(1+t)2
>0,
则u(t)=lnt-
2(t-1)
1+t
在(1,+∞)上为增函数.
而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt-
2(t-1)
1+t
>0.
又因为a>0,x2-x1>0,所以G′(x0)>0.
②当0<x2<x1时,同理可得:G′(x0)>0.
综上所述:G′(x0)的符号为正.
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已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.
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(1)求m与n的关系表达式;
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18、已知x=1是函数f(x)=x3-ax(a为参数)的一个极值点.
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(2)求x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值与最小值.

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(1)求m与n的关系式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设函数函数g(x)=
1
e
x2gex-
1
3
x3-x2,φ(x)=
2
3
x3-x2;试比较g(x)与φ(x)的大小.

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