Question

15．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O₁为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；
（1）计算球O的表面积和体积；
（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO₁和OO₁的中点，求
异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）

Answer 1

分析 （1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．
（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．

解答 解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，（2分）
在Rt△OAO₁中，O₁A=4，OO₁=3，
由勾股定理知，AO=5，（4分）
∴球O的表面积为：4π•25=100π（7分）
（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．（9分）
在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，（10分）
连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，
由余弦定理知：
cos∠OAC=$\frac{A{C}^{2}+O{A}^{2}-O{C}^{2}}{2OA•AC}$=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-{5}^{2}}{2×4×5}$=$\frac{2}{5}$，
∴∠OAC=$arccos\frac{2}{5}$，
∴异面直线AC与MN所成的角为$arccos\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查了球的表面积，以及异面直线及其所成角和余弦定理的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．