Question

6．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上动点P，Q，O为原点：
（1）若|OP|²+|OQ|²=a²+b²，求证：|k_OP•k_OQ|为定值；
（2）点B（0，b），若BP⊥BQ，求证：直线PQ过定点；
（3）若OP⊥OQ，求证：直线PQ为定圆的切线．

Answer 1

分析 （1）由题意可知|OP|²+|OQ|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=a²+b²，将P，Q代入椭圆方程，求得x₁²+x₂²=a²，利用直线的斜率公式，即可求证|k_OP•k_OQ|为定值；
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得m的值，则直线PQ过定点；
（3）设y=kx（k≠0），则OQ方程为：y=$\frac{1}{k}$x，分别代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的性质，O到直线PQ的距离d为定值，即可求得直线PQ为定圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$的切线．

解答 证明：（1）由题意可知：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），|OP|²+|OQ|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=a²+b²，
由P，Q在椭圆上，则y₁²=b²（1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$），y₂²=b²（1-$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$），代入整理得：x₁²+x₂²=a²，
则|k_OP•k_OQ|=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{y}_{1}^{2}•{y}_{2}^{2}}{{x}_{1}^{2}•{x}_{1}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}）•{b}^{2}（1-\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}）}{{x}_{1}^{2}•{x}_{2}^{2}}}$=b²$\sqrt{\frac{1-\frac{1}{{a}^{2}}（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）+\frac{1}{{a}^{4}}{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴|k_OP•k_OQ|为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$；
（2）易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得 （b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
则 x₁+x₁=-$\frac{2{a}^{2}km}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
∴$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-b}{{x}_{1}}$=-1，整理得 x₁x₂+y₁y₂-b²（y₁+y₂）+b²=0．
因为 y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
所以 y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m，y₁y₁=k²x₁x₂+km（x₁+x₁）+m²．
整理得（1+k²）x₁x₂+k（m-b²）（x₁+x₁）+m²-2b²m+b²=0．
∴（a²+b²）m²-2b³m-b²（a²-b²）=0．（13分）
解得 m=-$\frac{b（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，或m=b（舍去）．
∴直线PQ恒过定点（0，-$\frac{b（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
（3）设OP方程为：y=kx（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则OQ方程为：y=$\frac{1}{k}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得：x₁²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴丨OP丨²=（1+k²）x₁²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，
同理可得：丨OQ丨²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{-2}）}{{k}^{-2}{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}{b}^{2}+{a}^{2}}$
则O到直线PQ的距离d，即为△POQ斜边上的高，
d=$\frac{丨OP丨•丨OR丨}{丨PQ丨}$=$\sqrt{\frac{丨OP{丨}^{2}•丨OQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，（定值）．
则直线PQ为定圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$的切线．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．