Question

11．若函数f（x）=lnx+ax²-2在区间$（{\frac{1}{2}，2}）$内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-2，+∞）
• C． （-2，-$\frac{1}{8}$）
• D． $[-\frac{1}{8}，+∞）$

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出a的范围．

解答 解：$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}$，
2ax²+1＞0在$（{\frac{1}{2}，2}）$内有解，
所以$a＞（-\frac{1}{2{x}^{2}}）_{min}$，
由于$x∈（{\frac{1}{2}，2}）$，所以${x^2}∈（{\frac{1}{4}，4}）$，
$（-\frac{1}{{2{x^2}}}）∈（{-2，-\frac{1}{8}}）$，所以a＞-2，
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数恒成立以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．