Question

19．求证：函数$f（x）=-\frac{1}{x}-1$在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 根据题意，设x₁＞x₂＞0，用定义法作差可得f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，结合x₁＞x₂＞0，分析可得x₁-x₂＞0且x₁•x₂＞0，分析可得f（x₁）-f（x₂）的符号，由函数单调性的定义分析可得证明．

解答 证明：根据题意，设x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由x₁＞x₂＞0，则x₁-x₂＞0且x₁•x₂＞0，
则有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函数$f（x）=-\frac{1}{x}-1$在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性的证明，要掌握定义法的证明过程并正确化简．