Question

18．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，cosx=$\frac{3}{5}$．
（1）求tan（x-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若$\frac{π}{2}$＜y＜π，且sin（x+y）=$\frac{5}{13}$，求cosy的值．

Answer 1

分析 （1）由0＜x＜$\frac{π}{2}$和cosx=$\frac{3}{5}$结合同角三角函数基本关系可得sinx和tanx，再由两角差的正切公式可得；
（2）由题意和同角三角函数基本关系可得cos（x+y），代入cosy=cos[（x+y）-x]=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx，计算可得．

解答 解：（1）∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，cosx=$\frac{3}{5}$，
∴sinx=$\sqrt{1-co{s}^{2}x}$=$\frac{4}{5}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanx-1}{1+tanx}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{7}$；
（2）∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜y＜π，
∴$\frac{π}{2}$＜x+y＜$\frac{3π}{2}$，
又∵sin（x+y）=$\frac{5}{13}$＞0，
∴$\frac{π}{2}$＜x+y＜π，
∴cos（x+y）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（x+y）}$=-$\frac{12}{13}$，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=$-\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题考查和差角的三角函数公式，注意角的范围是解决问题的关键，属中档题．