Question

12．边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在AB，BC上．
（1）若EF=6，求△BEF面积的最大值；
（2）若点E，F分别是AB、BC边的中点，M是AD边上的动点，通过建立适当的直角坐标系，求$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图所示．设|BE|=m≤4，|BF|=n≤4，在△BEF中，由余弦定理可得：6²=m²+n²-2mncos120°≥2mn+mn，再利用S_△BEF=$\frac{1}{2}|BE||BF|$sin120°，即可得出．
（2）A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），C（0，-2$\sqrt{3}$），D（2，0）．利用中点坐标公式：E$（-1，\sqrt{3}）$，F（-1，-$\sqrt{3}$）．设$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DA}$，（0≤λ≤1）．可得$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OD}+λ\overrightarrow{DA}$，利用数量积运算性质可得：$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=$16（λ-\frac{3}{8}）^{2}$+$\frac{15}{4}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）如图所示．设|BE|=m≤4，|BF|=n≤4，
在△BEF中，由余弦定理可得：6²=m²+n²-2mncos120°≥2mn+mn，当且仅当m=n=2$\sqrt{3}$时取等号．
∴mn≤12，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}|BE||BF|$sin120°=$\frac{1}{2}mn×\frac{\sqrt{3}}{2}$$≤\frac{\sqrt{3}}{4}$×12=3$\sqrt{3}$．
∴△BEF面积的最大值为3$\sqrt{3}$．
（2）A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），C（0，-2$\sqrt{3}$），D（2，0）．
∴E$（-1，\sqrt{3}）$，F（-1，-$\sqrt{3}$）
$\overrightarrow{DA}$=（-2，2$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DA}$，（0≤λ≤1）．
则$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OD}+λ\overrightarrow{DA}$=$（2-2λ，2\sqrt{3}λ）$．
∴$\overrightarrow{ME}$=$（2λ-3，\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ）$，
$\overrightarrow{MF}$=$（2λ-3，-\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ）$．
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=（2λ-3）²+$（-2\sqrt{3}λ）^{2}$-$（\sqrt{3}）^{2}$
=16λ²-12λ+6
=$16（λ-\frac{3}{8}）^{2}$+$\frac{15}{4}$，
∴当λ=$\frac{3}{8}$时，$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$的最小值为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量共线定理、二次函数的单调性、余弦定理、三角形面积计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．