Question

4．已知函数y=（m-1）x²+（m-3）x+（m-1），m取什么实数时，函数图象与x轴，
（1）没有公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）有两个不同的公共点．

Answer 1

分析 （1）没有公共点时，方程无解；
（2）分类讨论，利用判别式求解即可；
（3）有两个不同的公共点，函数为二次函数，△＞0．

解答 解：（1）令（m-1）x²+（m-3）x+（m-1）=0，
没有公共点时，方程无解，$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{（m-3）^{2}-4（m-1）^{2}＜0}\end{array}\right.$，∴m＜-1或m＞$\frac{5}{3}$；
（2）只有一个公共点，m-1=0时，m=1，函数y=-2x为一次函数，与x轴只有一个交点；
m-1≠0时，m≠1，函数为二次函数，∵与x轴只有一个交点，∴△=0，∴m=-1或m=$\frac{5}{3}$；
综上，m=±1或m=$\frac{5}{3}$；
（3）有两个不同的公共点，函数为二次函数，△＞0，∴-1＜m＜$\frac{5}{3}$．

点评 此题将一次函数与二次函数的图象和性质有机结合，考查了同学们利用分类讨论的数学思想解题的意识，难度不大，但不要漏解．