Question

16．已知等比数列{a_n}的前10项的积为32，则以下说法中正确的个数是（　　）
①数列{a_n}的各项均为正数；  ②数列{a_n}中必有小于$\sqrt{2}$的项；
③数列{a_n}的公比必是正数；  ④数列{a_n}中的首项和公比中必有一个大于1．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由等比数列{a_n}的前10项的积为32，结合等比数列的性质可知${{a}_{5}}^{2}q=2$，然后分别进行判断即可．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前10项的积为32，
∴a₁a₂a₃…a₁₀=${（a}_{5}{a}_{6}）^{5}$=32．
∴a₅a₆=2，
设公比为q，则${{a}_{5}}^{2}q=2$，故q必是正数，故③正确．
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可知a₅可以为负数，故①错误；
由a₅a₆=2可以得前10项全为$\sqrt{2}$，故②错误；
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可得${{（a}_{1}{q}^{4}）}^{2}q={{a}_{1}}^{2}{q}^{9}=2$，可取q=1、${a}_{1}=-\sqrt{2}$均不大于1，故④错误．
故正确的命题是③
故选：A．

点评 本题主要考查与等比数列有关的命题的真假判断，由等比数列的性质得出${{a}_{5}}^{2}q=2$，推出q必是正数是解决问题的关键．考查学生的运算和推理能力．