Question

5．在直角三角形ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=1，若$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 5
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 直角三角形中的边角关系求得BC、BD，∠CBD的值，利用余弦定理求得CD、cos∠BCD 的值，再根据两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=CD•CB•cos∠BCD 的值．

解答 解：在直角三角形ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=1，若$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$，
则AD=3，∠ABC=$\frac{π}{6}$，∠CBD=$\frac{5π}{6}$，∴BD=1，CB=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
△BCD中，由余弦定理可得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos$\frac{5π}{6}$=3+1-2×1×$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=7，∴CD=$\sqrt{7}$．
由cos∠BCD=$\frac{{CD}^{2}{+BC}^{2}{-BD}^{2}}{2CD•BC}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=CD•CB•cos∠BCD=$\sqrt{7}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3\sqrt{21}}{14}$=$\frac{9}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．