Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，cos$\frac{x}{2}$）与$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，y）共线，且有函数y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求$cos（\frac{2π}{3}-2x）$的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量共线的坐标表示，运用二倍角公式和两角和的正弦公式及诱导公式，计算即可得到；
（Ⅱ）运用正弦定理和两角和的正弦公式，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线
∴$\frac{1}{{\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}}}=\frac{{cos\frac{x}{2}}}{y}$，
即$y=\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}（1+cosx）=sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$，即$sin（x+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
即有$cos（\frac{2π}{3}-2x）=cos2（\frac{π}{3}-x）=2{cos^2}（\frac{π}{3}-x）-1=2{sin^2}（x+\frac{π}{6}）-1=-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）已知2acosC+c=2b
由正弦定理得：2sinAcosC+sinC=2sinB
即2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）
=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∴在△ABC中∠$A=\frac{π}{3}$，
则$f（B）=sin（B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵∠$A=\frac{π}{3}$∴$0＜B＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$，$1＜f（B）≤\frac{3}{2}$，
∴函数f（B）的取值范围为$（1，\;\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示和二倍角公式、两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查正弦定理和正弦函数的图象和性质，属于中档题．