Question

18．数列{$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$}（n=1，2，…），则数列中的最大项为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据数列最大项条件，建立不等式即可．

解答 解：设a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，设第n项最大，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}≥\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}}\\{\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}≥\frac{（n-1）^{2}}{{2}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{n}^{2}≥{n}^{2}+2n+1}\\{{n}^{2}≥2{n}^{2}-4n-2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-2n-1≥0}\\{{n}^{2}-4n-2≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{n≥1+\sqrt{2}或n≤1-\sqrt{2}}\\{2-\sqrt{6}≤n≤2+\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
即1+$\sqrt{2}$≤n≤2+$\sqrt{6}$，
∵n∈N，
∴n=3或4，
∵a₃=$\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}=\frac{9}{8}$，a₄=$\frac{{4}^{2}}{{2}^{4}}$=1，
∴数列中的最大项为a₃=$\frac{9}{8}$
故答案为：$\frac{9}{8}$

点评 本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式．