Question

8．若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=1，f（2013）的值是2013．

Answer 1

分析 利用两个不等式，得到f（x+6）≥f（x）+6，且f（x+6）≤f（x）+6，通过两边夹的性质得到得到f（x+6）=f（x）+6利用递推式求出值．

解答 解：∵对任意的实数x，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=1，
∴f（x+3）=f（x+1+2）≥f（x+1）+2，
即f（x+1）+2≤f（x+3）≤f（x）+3，
即f（x+1）≤f（x）+1，
∴f（3）≤f（2）+1≤f（1）+2≤3，
又∵f（x+2）≥f（x）+2，
∴f（3）≥f（1）+2≥3，
∴f（3）=3
由f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2可得：
f（x+6）≥f（x）+6，
f（x+6）≤f（x）+6，
∴f（x+6）=f（x）+6，
∴f（2013）=335×6+f（3）=2013
故答案为：2013

点评 本题考查通过不等式的性质：两边夹，由不等式得到等式、考查函数递推公式的应用．解题的关键是得到f（x+6）=f（x）+6．