Question

13．对于任意的x₁，x₂∈R，若函数f（x）=2^x，试比较 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$与f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小关系．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质，以及指数的去处法则即可得到结论

解答 解：∵函数f（x）=2^x，
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
即$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），当且仅当x₁=x₂时取等号．

点评 本题主要考查函数值大小比较，利用基本不等式的性质以及指数的运算性质是解决本题的关键．