Question

3．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a（x＞0）}\end{array}\right.$在定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞$\frac{16}{3}$
• B． a＜$\frac{16}{3}$
• C． a≥$\frac{16}{3}$
• D． a≤$\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．

解答 解：①当x≤0时，f（x）=x+3^x．
∵函数y=x与y=3^x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3^x在区间（-∞，0]上也单调递增
又f（-1）=-1+3-1=-1+$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$＜0，f（0）=1＞0，所以函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{3}$x3-4x+a．
∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即$\frac{{2}^{3}}{3}$-4×2+a＞0，解得a＞$\frac{16}{3}$．
故a的取值范围是（$\frac{16}{3}$，+∞）．
故选：A．

点评 利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．