Question

17．设函数f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，满足：f（-x）=-f（x），且f（m-1）+f（2m-1）＞0
（1）求实数m的取值范围．
（2）若f（1）=-3，解不等式f（x+1）-3＞0．

Answer 1

分析 （1根据函数单调性和奇偶性的性质建立不等式组关系即可求实数m的取值范围．
（2）若f（1）=-3，将不等式f（x+1）-3＞0．转化为f（x+1）＞f（-1），结合函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
则由f（m-1）+f（2m-1）＞0得f（2m-1）＞-f（m-1）=f（1-m），
∵f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m-1＜2}\\{-2＜2m-1＜2}\\{2m-1＞1-m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜3}\\{-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\\{m＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{3}{2}$，
即实数m的取值范围是$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
（2）若f（1）=-3，则f（-1）=-f（1）=
则由不等式f（x+1）-3＞0得f（x+1）＞3．
即f（x+1）＞f（-1），
∵f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x+1＜2}\\{x+1＜-1}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜1}\\{x＜-2}\end{array}\right.$，
解得-3＜x＜-2，
即不等式的解集为（-3，-2）．

点评 本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性，单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．