Question

19．若函数f（x）满足f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，f（x）≠0，且x＞0时，f（x）＞1，已知f（4）=16．
（1）求f（0）和f（2）的值；
（2）求使不等式f（2x-3）f（2-3x）≤4成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（0）和f（2）的值；
（2）先判断函数的单调性，将不等式f（2x-3）f（2-3x）≤4进行转化即可求出x的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）≠0
∴f（0）≠0，
令x=y，则f（x-x）=f（0）=$\frac{f（x）}{f（x）}=1$，
即f（0）=1，
令x=0，y=2，则f（-2）=$\frac{f（0）}{f（2）}=\frac{1}{f（2）}$，
即f（2）f（-2）=1，
∵x＞0时，f（x）＞1，
∴f（-2）＞0，f（2）＞0，
∵f（4）=16．
∴令x=2，y=-2，
则f（4）=f（2-（-2））=$\frac{f（2）}{f（-2）}$=f²（2）=16，
∴f（2）=4．
（2）∵f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，
∴设x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞1，
则$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$=f（x₂-x₁）＞1，
即f（x₂）＞f（x₁），则函数在定义域上为增函数，
则不等式f（2x-3）f（2-3x）≤4等价为f（2x-3+2-3x）≤f（2），
即f（-x-1）≤f（2），
则-x-1≥2，即x≤-3，
即x的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本题主要考查不等式的求解以及抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性的性质判断函数的单调性是解决本题的关键．