Question

10．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）+B	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（Ⅰ）请求出上表中的x_l，x₂，x₃，并直接写出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x釉向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，且此时其图象的最高点和最低点分别为P，Q，求$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{QP}$夹角θ的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用五点法作图，求得ω、φ的值，再结合表格中的数据可得函数f（x）的解析式，从而求得表中的x_l，x₂，x₃．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，可得P、Q的坐标，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{QP}$夹角θ的大小．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得ω•$\frac{1}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{7}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴ω=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{3}$，再结合表格中的数据，
可得函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
再根据$\frac{π}{2}$x₁+$\frac{π}{3}$=0，$\frac{π}{2}$x₂+$\frac{π}{3}$=π，$\frac{π}{2}$x₃+$\frac{π}{3}$=2π，求得x_l =-$\frac{2}{3}$，x₂ =$\frac{4}{3}$，x₃，=$\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x釉向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）=$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x的图象，
若函数g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
且此时其图象的最高点和最低点分别为P（1，$\sqrt{3}$）、Q（3，-$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{OQ}$=（3，-$\sqrt{3}$）、$\overrightarrow{QP}$=（-2，2$\sqrt{3}$）．
设$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{QP}$夹角θ的大小为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{QP}}{|\overrightarrow{OQ}|•|\overrightarrow{QP}|}$=$\frac{-6-6}{\sqrt{12}•\sqrt{4+12}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查五点法作图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，用数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．