Question

11．设θ为向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角，已知|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OQ}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$，且|$\overrightarrow{PQ}$|在t=$\frac{1}{4}$时取得最小值，则cosθ=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 运用向量的加减运算，向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，二次函数的最值求法，由对称轴方程，即可得到最小值．

解答 解：|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$|
=|（1-t）$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{（（1-t）\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}）^{2}}$
=$\sqrt{（1-t）^{2}+4{t}^{2}-2t（1-t）\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$
=$\sqrt{（1-t）^{2}+4{t}^{2}-4t（1-t）cosθ}$
=$\sqrt{（5+4cosθ）{t}^{2}-（2+4cosθ）t+1}$，
由题意可得，t=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$=$\frac{1}{4}$时，取得最小值．
解得cosθ=$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的性质，考查向量的平方即为模的平方，以及二次函数的最值求法，属于中档题．