Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=+lnx，
∴f'（x）= （a＞0）
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f'（x）=≥0对 x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥，对x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1．
（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=．
当x∈[，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上单调递减；
当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．
∴f（x）在x∈[，2]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
∵f（）=1-ln2，f（2）=-+ln2，f（）-f（2）=-2ln2=．
∵e³＞16，∴f（）-f（2）＞0?f（）＞f（2）．（10分）
∴f（x）在区间[，2]上的最大值f（x）=f（）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在上的最大值是1-ln2，最小值是0．
分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，把函数f（x）在[1，+∞）上为增函数转化为导函数大于等于0恒成立问题，再转化为关于正实数a的不等式问题即可求出正实数a的取值范围；
（Ⅱ）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在上的单调性即可求f（x）在上的最大值和最小值．
点评：本题第二问考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．