Question

11．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

时间x（s）	2	3	4	5	6
深度y（μm）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）在所给的坐标系中画出散点图；
（2）如果y对x有线性相关关系，请用最小二乘法求y关于x的回归直线方程；
（3）估计x=12时，腐蚀深度约是多少？
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a$=$\overline y$-$\hat b\overline x$．
参考数据：2²+3²+4²+5²+6²=90，2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3．

Answer 1

分析 （1）由已知中腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的统计表中数据，易画出数据的散点图；
（2）根据所给的样本中心点和两个最小二乘法要用的和式，写出b的表示式，求出结果，再代入样本中心点求出a，写出线性回归方程；
（3）根据（2）中所得的线性回归方程，代入x=12求出预报值．

解答 解：（1）表中数据的散点图如下图所示：

（2）$\overline x=4$，$\overline y=5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{112•3-100}{90-80}=1.23$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=5-1.23×4=0.08$
所以回归直线方程是：y=1.23x+0.08
（3）当x=12时，y=1.23×12+0.08=14.84μm

点评 本题考查线性回归方程的做法和应用，是一个基础题，本题解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数．