Question

（2012•湛江二模）已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1右支x轴上方的一点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于点D．
（1）若a=2b，求椭圆C₁及双曲线C₂的离心率；
（2）若△ACD和△PCD的面积相等，求点P的坐标（用a，b表示）．

Answer 1

分析：（1）根据a=2b，结合椭圆中，c2=a2-b2=

3

4

a2，双曲线中，c2=a2+b2=

5

4

a2，即可求得椭圆C₁及双曲线C₂的离心率；
（2）设P、C的坐标分别为（x₀，y₀），（x₁，y₁），根据△ACD和△PCD的面积相等，可得

-a+x0

2

=x1，

0+y0

2

=y1，分别代入椭圆、双曲线方程，联立方程，即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）∵a=2b，∴在椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，c2=a2-b2=

3

4

a2
∴椭圆C₁的离心率为e1=

c

a

=

3

2

；
在双曲线C₂中，c2=a2+b2=

5

4

a2，
∴双曲线C₂的离心率为e2=

c

a

=

5

2

；
（2）设P、C的坐标分别为（x₀，y₀），（x₁，y₁）
由题意知A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面积相等，
∴|AC|=|PC|
∴

-a+x0

2

=x1，

0+y0

2

=y1
代入椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1得b2x02-2ab2x0+a2b2 +a2y02=4a2b2①
∵P（x₀，y₀）是双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1右支x轴上方的一点，
∴a2y02=b2x02-  a2b2②
②代入①化简可得x02-  ax0 -2a2=0
∴x₀=2a或-a（舍去）
∴y0=

b2x02-a2b2 a2

=

3

b
∴点P的坐标为（2a，

3

b）．

点评：本题考查椭圆与双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，解题的关键是利用△ACD和△PCD的面积相等，寻求坐标之间的关系．